Mit etwas Mathematik und einem "hübschen Trick"
kann man dieses Ergebnis leicht ableiten. Den Ausgangspunkt bildet
eine 
Preisabsatzfunktion für das
Mineralwasseroligopol*
mit n identischen Anbietern:
[1] 
Wenn man sich ausgangs nicht festlegt, welchen Wert n annehmen soll, kann man in der späteren Lösung z. B. n=3 für das Tripol, aber auch jeden beliebigen anderen Wert für die Zahl der Unternehmen wählen.
X ist die Menge aller n Anbieter; einen von ihnen betrachten wir näher: Anbieter j, der die Menge xj anbietet. Sein Umsatz beträgt
[2] 
Da der Mineralwasserproduzent keine Kosten hat, maximiert er mit den Umsätzen die Gewinne. Zur Berechnung der notwendigen Bedingung für die Maximierung seines Umsatzes empfiehlt es sich, zunächst den betrachteten Anbieter j aus dem Summenzeichen herauszulösen:
[3] 
Das ist zwar eigentlich nicht notwendig, macht aber deutlich, dass
der Umsatz in xj quadratisch ist. Die Angebotsmengen
der anderen n-1 Unternehmen sind der Cournotschen
Verhaltensannahme zufolge für Anbieter j Daten.
Als notwendige Bedingung für ein Gewinnmaximum folgt:
[4] 
Gleichung [4] enthält zwei bekannte Parameter a und b sowie i unbekannte Variablen. Trotzdem ist das Problem lösbar, denn analog zu Gleichung [4] lassen sich ja auch für die übrigen n-1 Anbieter die entsprechenden Bedingungen berechnen, so dass am Ende n Unbekannten n Gleichungen gegenüberstehen.
Mehr zum Oligopol mit n Anbietern z. B. in
Aber es geht einfacher mit folgendem "Trick": Alle Anbieter sind annahmegemäß identisch. Damit gilt xi = xj und [4] vereinfacht sich zu
[5] 
oder kürzer
[6] 
Das war es schon! Die Überprüfung der hinreichenden Bedingung schenken wir uns mal. Mit [6] ist die optimale Menge für einen repräsentativen Anbieter bekannt; die Menge aller n identischen Anbieter ist somit
[7] 
Betrachten Sie noch einmal Gleichung [1]. Machen Sie sich klar, dass sich die von Anbieter j vermutete PAF parallel nach unten verschiebt, wenn die anderen Anbieter ihre Produktion erhöhen.
Für n=1 erhält man die Monopollösung im Mineralwasserfall, für n=2 die Cournotsche Zwei-Drittel-Lösung, für n=3 eine Cournotsche Drei-Viertel-Lösung usw. Mit zunehmender Zahl der Anbieter strebt die Menge gegen die Sättigungsmenge a/b, die hier mit der Konkurrenzlösung übereinstimmt (da die Grenzkosten null sind).
Wenn man die Menge X* in die Nachfragefunktion [1] einsetzt, findet man den Preis in Abhängigkeit von der Zahl der Anbieter
[8] 
Denken Sie einmal darüber nach, was die Zahl der Anbieter auf einem Markt über deren Wettbewerbs- oder Konkurrenzverhalten aussagt. Sieht sich nicht auch ein Monopolist von Konkurrenz bedroht? Ist der Wettbewerb unter wenigen nicht unter Umständen viel schärfer als der Wettbewerb unter vielen?
Überlegen Sie, welche Instrumente Unternehmen im Wettbewerb zur Verfügung stehen und ob und wie unser repräsentativer Anbieter j sie einsetzt.
und sieht (fast) unmittelbar, dass die Konsumenten Konkurrenz wünschen sollten - vorausgesetzt man ist bereit, Konkurrenz oder ihre Intensität mit der Zahl der Anbieter gleichzusetzen.
Davor muss an dieser Stelle aber gewarnt werden, denn es gibt viele gute Argumente, warum das nicht der Fall sein muss (s. Kasten). Trotzdem darf man sich an dieser Stelle etwas zurücklehnen, hat man doch - wenn auch unter restriktiven Annahmen - eine These abgeleitet, die geradezu nach empirischer Überprüfung schreit und zugleich das Leitbild der Wettbewerbspolitik liefert:
Mit der Zahl der Anbieter steigt die gehandelte Menge und sinkt der Preis.
Dazu beinhaltet dieses Modell das Monopol und die vollkommene Konkurrenz als Spezialfälle.
