Inzwischen besitzen wir zwei wichtige Informationen über die (Modell-)Haushalte: Wir wissen zum einen, was sie sich leisten können. Zum zweiten ist uns bekannt, was sie sich wünschen. Beides können wir grafisch darstellen: Was sie sich leisten können, bilden wir im Güterraum mit der Budgetrestriktion ab. Was sie sich wünschen, können wir im gleichen Diagramm mithilfe von Indifferenzkurven darstellen. Um zu sehen, wie sie sich ihre Wünsche unter der Budgetrestriktion bestmöglich erfüllen, müssen die beiden Aspekte nur noch zusammengeführt werden.

Dazu greifen wir das Zahlenbeispiel wieder auf, das wir bei der Konstruktion der Budgetgeraden eingesetzt haben. Der Haushalt kann mit einem Einkommen E in Höhe von 1000 EUR die Güter X und Y kaufen, die 5 bzw. 4 EUR pro Stück kosten. Die Budgetrestriktion, die wir ermittelt hatten, ist hier in Abbildung 1 noch einmal wiedergegeben. Das Güterbündel R könnte der Haushalt mit seinem Einkommen gerade bezahlen; S könnte er sich leisten, ohne sein Einkommen voll zu verausgaben, und zum Erwerb des Güterbündels Q würden die 1000 EUR Einkommen nicht ausreichen.

Wir wollen annehmen, dass der Haushalt über die Güter Präferenzen besitzt, die sich mithilfe der Nutzenfunktion U=XY abbilden lassen. Dies ist die gleiche Nutzenfunktion, die wir im Käsebrötchen-Bier-Beispiel gefunden hatten und für die wir bereits Indifferenzkurven konstruiert haben. In Abbildung 2 sind drei ausgewählte Indifferenzkurven für diese Nutzenfunktion eingezeichnet. Die Indexwerte der Kurven in der maßstabsgetreuen Abbildung sind 5.000, 12.500 und 20.000.

Die Präferenzen des Haushalts hätten wir z. B. auch mit der Nutzenfunktion U=(XY)^0,5 abbilden können. Hätten wir diese Funktion eingesetzt, hätten wir für die Nutzenindexwerte von 70,71, 111,80 und 141,42 eine identische Abbildung erhalten.

 

Nun bringen wir die beiden Gedanken, was der Haushalt möchte und was er sich leisten kann, zusammen, indem wir die beiden Diagramme aus Abbildung 1 und 2 einfach übereinander legen (s. Abb. 3). Die Indifferenzkurve I₃ würde der Haushalt gerne erreichen (denn sie zeigt von den drei eingezeichneten Indifferenzkurven den höchsten Nutzen an), aber die Budgetrestriktion erlaubt es ihm nicht. Die höchste erreichbare Indifferenzkurve ist offenbar jene, die die Budgetgerade tangiert. Dabei stellt die Ausgewogenheitsannahme (Konvexität der Indifferenzkurven; abnehmende Grenzrate der Substitution) sicher, dass es einen eindeutigen Tangentialpunkt gibt.

In Abbildung 4 ist der Tangentialpunkt gekennzeichnet. Der Haushalt erreicht den größtmöglichen Nutzen, wenn er sein Einkommen für das Güterbündel P ausgibt, also 100 X und 125 Y kauft - wie man aus der Grafik mit der "Methode des scharfen Hinsehens" ermitteln kann. Dieses Güterbündel bzw. der Punkt P heißt Haushaltsoptimum oder Haushaltsgleichgewicht.

Im Haushaltsgleichgewicht (oder -optimum) stimmen die Steigungen von Budgetgerade und Indifferenzkurve überein.

Andernfalls wäre P kein Tangential-, sondern ein Schnittpunkt. Die (absolute) Steigung der Indifferenzkurve hatten wir im vorigen Abschnitt als Verhältnis der Grenznutzen von X und Y ermittelt (s. dort Abb. 6 und Gleichung [5]). Die (absolute) Steigung der Budgetgeraden entspricht dem Preisverhältnis der Güter X und Y (s. Abb. 4). Also gilt im Haushaltsgleichgewicht, dass das Verhältnis der Grenznutzen der beiden Güter ihrem Preisverhältnis entspricht. Diese Aussage gilt auch für den n-Güter-Fall, so dass sich allgemein formulieren lässt:

Im Haushaltsoptimum entspricht das Grenznutzenverhältnis je zweier Güter ihrem Preisverhältnis.

Da das Grenznutzenverhältnis der negativen umgekehrten Grenzrate der Substitution entspricht, gilt auch:

Die (absolute) Grenzrate der Substitution entspricht im Haushaltsgleichgewicht dem umgekehrten Preisverhältnis der Güter.

Das sind ungewohnt klingende und schwer zu begreifende Aussagen. Aber ein Gegenbeispiel macht deutlich, dass es so sein muss. Dazu betrachten wir in Abbildung 5 einen Fall, in dem der Haushalt sich in Punkt R nicht im Gleichgewicht befindet. Das Verhältnis der Grenznutzen stimmt nicht mit dem Verhältnis der Güterpreise überein. Dieses beträgt 5/4 = 1,25 und zeigt mit einem negativen Vorzeichen die Steigung der Budgetgeraden. Also kann sich der Haushalt bei konstanten Ausgaben 1,25 Einheiten mehr Y leisten, wenn er auf eine Einheit X verzichtet.

Nun ist in R eine Tangente angelegt, um erkennen zu können, wie der Haushalt die Güter bei Indifferenz gegeneinander tauschen würde. Die blaue Strecke a ist fast fünf mal so lang wie die grüne Strecke b. Also wäre der Haushalt bei Indifferenz bereit, für 1 Einheit Y 5 Einheiten X aufzugeben. Würde er tatsächlich 5 Einheiten X aufgeben, dann könnte er sich dafür 6,25 Einheiten Y kaufen. Bei den herrschenden Marktpreisen kann er also Y gegen X wesentlich günstiger eintauschen als es für Indifferenz notwendig wäre. Eine Einheit Y hätte ihm bereits für Indifferenz gereicht, tatsächlich erhält er 6,25 Einheiten. Konsequenterweise wird er sich auf der Budgetgerade nach oben bewegen, also mehr Y und weniger X konsumieren.

Wem ein Apfel zwei Birnen wert ist, der gibt sicher eine Birne her, wenn er dafür einen Apfel eintauschen kann. Das ist eine Selbstverständlichkeit. Aber es ist - so einfach es sich anhört - der Schlüssel zum Verstehen des Modells.

Während er nun von R in Richtung P "wandert", steigt der Konsum von Y und der von X nimmt ab. Das führt aufgrund des Gesetzes von der abnehmenden Grenzrate der Substitution dazu, dass die Wertschätzung von Y ab- und die Wertschätzung von X zunimmt. Bis der Haushalt den Punkt P erreicht, gilt aber im Prinzip immer die gleiche Überlegung wie im Punkt R: der Haushalt kann die Güter am Markt in einem besseren Verhältnis tauschen als notwendig, um seinen Nutzen konstant zu halten. Im Punkt P selbst kann er die Güter am Markt genau in dem Verhältnis tauschen, das seinen Nutzen konstant hält.

Eine weitere Möglichkeit, sich darüber klar zu werden, warum es sich in Abb. 5 bei R nicht um das Optimum des Haushalts handeln kann, ist folgende: Wenn man auf der Indifferenzkurve von R aus in Richtung S wandert, bleibt der Nutzen konstant. Zugleich begibt man sich aber unter die Budgetgerade. Der Haushalt gibt sein Einkommen also nicht mehr wie in R voll aus. Das bedeutet doch offensichtlich, dass er "sich den gleichen Nutzen für weniger Geld kaufen kann". Dann kann er aber in R unmöglich in einer optimalen Situation gewesen sein. Den in P erreichten Nutzen hingegen kann der Haushalt nicht mit einem geringeren Betrag als seinem gesamten Einkommen "kaufen". Aus P heraus ist demnach keine Verbesserung möglich. Somit ist P optimal. (Diese Argumentation ist eng verbunden mit einer unter dem Stichwort "Duales Problem" bekannten Überlegung: Für das gegebene Nutzenniveau I₂ wird bei gegeben Preisen das Einkommen minimiert. Es wird also die geringstmögliche Ausgabe des Haushalts zur Erlangung dieses Nutzenniveaus gesucht. Auch auf diese Art und Weise stellt sich augenscheinlich P als Haushaltsgleichgewicht heraus - und der Augenschein trügt ausnahmsweise einmal nicht.)

Wer informiert ist, wie man U(x,y) unter der Nebenbedingung E  =  p_xx + p_yy maximiert, hätte die notwendige Bedingung für ein Haushaltsgleichgewicht auch berechnen können:

[1]      

Für das Zahlenbeispiel mit der Nutzenfunktion U = XY erhält man

[2]      

und unter Ausnutzung der Gleichung der Budgetgerade 1000 = 5x + 4y die optimalen Mengen y*=125 und x*=100.

Das wesentliche Ergebnis dieses Abschnitts lautet in zwei Versionen:

Grafisch: Der Haushalt befindet sich im Gleichgewicht, wo die Budgetgerade eine (die höchste) Indifferenzkurve tangiert.

Analytisch: Der Haushalt befindet sich im Gleichgewicht, wenn das Verhältnis der Grenznutzen dem Preisverhältnis der Güter entspricht (s. Gleichung [1]).

 

Dieses Ergebnis ist auch als Zweites Gossensches Gesetz (synonym: Equimarginalprinzip, Grenznutzenausgleichsregel, Gesetz vom Ausgleich der gewogenen Grenznutzen, Gossensches Grenznutzenausgleichsgesetz) bekannt.